やはり定番の \(\log \) を使ってみる
というわけで \(2025^{2025}\) の常用対数をとります。
\(\log_{10}2025^{2025}\) \(=2025\log_{10}45^2\)
\(=4050\log_{10}(3^2\times5)\)
\(=4050\{\log_{10}3^2+\log_{10}5\}\)
\(=4050(2\log_{10}3 + \log_{10}10 – \log_{10}2)\)
\(=4050(2\times0.47712+1-0.30103)\)
\(=6695.5005\)
はさみうち！
「最高位の数を知りたい」ときは，「最高位の数が限定されるように真の値の範囲がわかればよい」と考えます。
たとえば，\(a\) の真の値が \(6174\) であるとき，
\(6000 \text{≦} a \text{<} 7000 \) がわかれば
最高位の数は \(6\) だとわかります。
では続き・・・
\(\log_{10}2025^{2025}=6695.5005\)
ここで， \(\log_{10}3 < 0.5005 <\log_{10}4\)
これを少し変形して (両辺に \(6695\) をたした)
\(6695+\log_{10}3 <6695.5005 < 6695+\log_{10}4\)
\(\log_{10}10^{6695}+\log_{10}3 < \log_{10}2025^{2025} < \log_{10}10^{6695}+\log_{10}4\)
\(\log_{10}{(3\times10^{6695})} < \log_{10}(2025^{2025}) < \log_{10}(4\times10^{6695})\)
真数部分を比較して
\(3\times10^{6695} < 2025^2025 < 4\times10^{6695}\)
(これは \(3\) で始まる大数を表している)
よって 最高位の数は \(3\)
なぜ \(log_{10}2=0.30103\) を使う？
常用対数ではおなじみの問題設定，
「 \(\log_{10}2=0.3010 , \log_{10}3=0.4771 \) とする」 という一行。
ほとんどの問題でこれが使われていますが，本題では
\(\log_{10}2=0.30103\) , \(\log_{10}3=0.47712\)
を使っています。
実は，\(\log_{10}2=0.3010\) , \(\log_{10}3=0.4771\) で計算すると，
最高位の数は \(2\) となってしまうのです。
どちらが正しい？
当然，常用対数の値が 「真の値」に近いほうですね。
あとがき : 典型問題として覚えよう
まぁまぁ難しめではある 「大数の最高位の数」ですが，出題しやすい & 知っていればカンタン というものなので，ここは典型問題として覚えましょう。
二次試験や教員採用試験での出題可能性も高いといえるでしょう。
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