大数の最高位の数！

　講師 : ミスターユウケイ

大数の桁数を求める問題はよく目にするところですが、最高位の数？

\( 123456 \) という数なら最高位の数は \(1\) ということになります。

　

実は「最高位の数」。桁数を求める典型問題の発展形としてまぁまぁ出題があるんです・・・

　

難しいのでは？　はい難しくは感じるでしょう。

　

とはいえ、一般的な高校数学のレベルでは、「どんな大数でも最高位の数を求められる」というわけではありません。

つまり、方程式を解くようなプロセスで解決するのではありません。少し抽象的な方法を用います。

　

数学の深さや強さ。この “抽象的な” が使えてこそ実現するといってもよいでしょう。

　

やはり定番の \(\log \)　を使ってみる

というわけで \(2025^{2025}\) の常用対数をとります。

　

\(\log_{10}2025^{2025}\) \(=2025\log_{10}45^2\)

　　　　　　　　\(=4050\log_{10}(3^2\times5)\)

　　　　　　　　\(=4050\{\log_{10}3^2+\log_{10}5\}\)

　　　　　　　　\(=4050(2\log_{10}3 + \log_{10}10 – \log_{10}2)\)

　　　　　　　　\(=4050(2\times0.47712+1-0.30103)\)

　　　　　　　　\(=6695.5005\)

　

はさみうち！

「最高位の数を知りたい」ときは，「最高位の数が限定されるように真の値の範囲がわかればよい」と考えます。

　

たとえば，自然数 \(a\) の真の値が \(6174\) であるとき，

　

\(6000 \text{≦} a \text{<} 7000 \)　がわかれば

　

最高位の数は　\(6\) だとわかります。

　

では続き・・・

　

\(\log_{10}2025^{2025}=6695.5005\)

　

ここで，　\(\log_{10}3 < 0.5005 <\log_{10}4\)

これを少し変形して (両辺に \(6695\) をたした)

　

\(6695+\log_{10}3 <6695.5005 < 6695+\log_{10}4\)

　

\(\log_{10}10^{6695}+\log_{10}3 < \log_{10}2025^{2025} < \log_{10}10^{6695}+\log_{10}4\)

　

\(\log_{10}{(3\times10^{6695})} < \log_{10}(2025^{2025}) < \log_{10}(4\times10^{6695})\)

　

真数部分を比較して

　

\(3\times10^{6695} < 2025^{2025} < 4\times10^{6695}\)

　(これは \(3\) で始まる大数を表している)

　

よって　最高位の数は　\(3\)

　

なぜ　\(log_{10}2=0.30103\)　を使う？

常用対数ではおなじみの問題設定，

　

「 \(\log_{10}2=0.3010 , \log_{10}3=0.4771 \) とする」 という一行。

　

ほとんどの問題でこれが使われていますが，本題では

　

\(\log_{10}2=0.30103\) , \(\log_{10}3=0.47712\)

　

を使っています。

　

実は，\(\log_{10}2=0.3010\) , \(\log_{10}3=0.4771\) で計算すると，

　

最高位の数は \(2\) となってしまうのです。

　

どちらが正しい？

　

当然，常用対数の値が 「真の値」に近いほうですね。

　

あとがき : 典型問題として覚えよう

まぁまぁ難しめではある 「大数の最高位の数」ですが，出題しやすい & 知っていればカンタン というものなので，ここは典型問題として覚えましょう。

　

二次試験や教員採用試験での出題可能性も高いといえるでしょう。

　

類題

\( 1728^{1728}\) の最高位の数を求めよ！

ここでは \(\log_{10}(2)=0.30102 , \log_{10}(3)=0.47712\) として計算しましょう。

　

常用対数　を考えて

\(\log_{10}{1728^{1728}} = 1728\log_{10}{12^3} \)

　　　　　　　　\( = 1728\times3\times{\log_{10}12^3} \)

　　　　　　　　\( = 5594.36544 \)

　

この値をイジっていきます。

　

\( \log_{10}2 < 0.36544 < \log_{10}3 \) だから

　

\( 5594 + \log_{10}2 < 5594.36544 < 5594 + \log_{10}3 \)

\( \log_{10}{10^{5594}} + \log_{10}2 < \log_{10}5594.36544 < \log_{10}{10^{5594}} + \log_{10}3 \)

真数部分を比較して

\(2\times10^{5594} < 1728^{1728} < 3\times10^{5594}\)

　(これは \(2\) で始まる大数を表している)

　

よって 最高位の数は \(2\)

よって 最高位の数は