\(a>0\) でなければ成立しない問題ですね。
わり算によって 「項を並べた形」 に！
分子 \(4a^2+6a+1\) を 分母 \(2a\) で割ってみましょう。
\(\frac{4a^2+6a+1}{2a} = 2a+3+\frac{1}{2a} \)
変形した式を観察すると，\(2a\) と \(\frac{1}{2a}\) という
互いに逆数の関係にある 2 数が確認できます。
問題の条件から，この 2 数は正の数です。
こんなとき，真っ先に考えたいのが「相加平均・相乗平均」という考え方。
\((相加平均)≧(相乗平均)\)
\(A\) , \(B\) の相加平均とは，2 数の和 を 2 で割ったもの
\(\frac{A+B}{2}\) ，おなじみの 平均値 のことですね。
\(A\) , \(B\) の相乗平均とは，2 数の積 の 2 乗根
\(\sqrt{AB}\) つまり，平方根のことですね。(正の平方根)
この \(A\) , \(B\) がともに正の数であるとき，
\((相加平均)≧(相乗平均)\)が成り立ちます。(定理)
式に表すと，
\(\frac{A+B}{2} ≧ \sqrt{AB}\) , ( \(A>0\) , \(B>0\) )
転じて \(A+B ≧ 2\sqrt{AB}\) (本題ではこちらを使います)
例えば，\(3\) と \(27\) の場合。
相加平均は \(\frac{3+27}{2}=15\)
相乗平均は \(\sqrt{3\times27}=9\)
この場合，確かに \((相加平均)≧(相乗平均)\) ですね。
\((相加平均)≧(相乗平均)\) によって最小値を！
\(A≧9\) のとき，\(A\) の最小値は何でしょう？
正解は \(9\) です。
\(A\) は \(9\) 以上だと式が語っています。
では本題。
\(2a+3+\frac{1}{2a} \) を少しイジって
\(2a+\frac{1}{2a}+3 \)
\(3\) は わかりやすい定数なので，\(2a+\frac{1}{2a} \) について考えます。
\(2a\) と \(\frac{1}{2a} \) はともに正の数だから
相加平均・相乗平均の関係から
\(2a+\frac{1}{2a} \) \(≧\) \(2\sqrt{2a\times\frac{1}{2a}}\)
\(2\sqrt{2a\times\frac{1}{2a}}=2\) となり
\(2a+\frac{1}{2a}\) の最小値が \(2\) である とわかりました。
よって \(2a+\frac{1}{2a}+3 \) の最小値は
\(2+3=5 \) となります。
最小値は \(5\)
ところで，このとき \(2a=\frac{1}{2a} \) であり，
\(a=\frac{1}{2} \) のとき \(\frac{4a^2+6a+1}{2a}\) は最小値 \(5\) をとる
と結論づけられます！
あとがき : 最大値 や 最小値 を問われ 考えるコト
変化する値 には 最大値や最小値 が存在する場合があります。
・・・場合があります と述べたように，存在しない場合もあります。
たとえば \( y=x^2\) ( \(x\) はすべての値 ) では
\(y\) の最小値 \(0\) ，最大値 ナシ ですね。
さて，この最大値や最小値が存在するとき，それを求める方法は幾多存在します。
数学だけでなく 物理や化学 でも多用する 「2次関数による解法」，
高次式 に対応した 「極値を用いた解法」，
そして，変数が正の数であるときに試したい 「相加相乗平均による解法」。
これはヒラメキというより，典型的な解法として定着させたいテクニックだといえます。
本題，実は微分法によって解決することもできるのです。
が，より手順数 が少ないのは 相加相乗 によるほうでしょう。
それを判断するためにも 両者 を典型的な解法として定着させましょう (もう一度言った？)。
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