水が入った容器がある。
この容器は半径 \(6cm\) の半球を図のように使うものとします。
半径 \(r\) の球の体積は \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ということで，
一見カンタンそうに見える本題。
その直感は正しいのでしょうか？
図をかく
基本ですね。
図をかいて，結論を求めるために考えるべきことを見出しましょう。
図のように，容器の立面図をかきます。(傾けた後の容器は濃い線)
ここからわかること，傾ける角度が \(30^{\circ} \) だから，
水面は半球の底面の中心から \(3 cm\) の深さにあるということ！
これをもとに座標平面に表すと・・・
残った水の量，つまり体積は
「青色の部分を \(y\) 軸を回転の軸として１回転させた立体」の体積なのです。
曲線 (弧) の式は \(y=\sqrt{6^2-x^2}\) ( \(-6 \text{≦} x \text{≦} 6\) )
回転体の体積 \(V=\pi \int_{-6}^{-3} y^2 dx \)
続けます。
\(V=\pi \int_{-6}^{-3} y^2 dx \)
\(=\pi \int_{-6}^{-3} (36-x^2) dx \)
\(=45 \pi \) ( \(cm^3\) )
こぼれた水の量は 半球の 容積から \(V\) をひくことで求めます。
すなわち
\(\frac{1}{2}\times \frac{4}{3} \pi \times{6^3}-V\)
\(=99 \pi (cm^2) \) (結論)
公式もあるよ！
半球の半径 \(r\) ，傾ける角度を \(\theta\) とすると，
(こぼれる水の体積) \(=\frac{\pi}{3}r^3 \sin{\theta}(3-\sin^2{\theta})\)
(残る水の体積) \(=\frac{\pi}{3}r^3(\sin^2{\theta}-3\sin{\theta}+2)\)
となり，すべての水がこぼれる (残る水の体積が \(0\) ) のは
\(\sin^2{\theta}-3\sin{\theta}+2=0\) ，
すなわち \(\theta=90^{\circ}\) のときだとわかります。( \(0^{\circ} \text{≦} \theta \text{≦} 90^{\circ}\) )
あとがき ① : まずは図をかく！
本題のように，直観では捉えにくい課題に出会うことがあります。
今回は，
満水の器 → 器を傾ける → 器を戻す → 立面図をグラフにする
というフローで図示しました。
これにより 残った水の深さが明らかになったわけです。
このように，図示によって課題の本質が見えてくるもので，
「困ったら図示」「とりあえず図示」という習慣を持っていたいものですね。
あとがき ② : それでも直観は捨てられない
直観の弱さを補う ための図示のお話でした。
ただ，この図示が不完全ならどうでしょう。
たとえば，
明らかに鈍角三角形になる図形をかいた結果，「鋭角三角形にみえる」とか，
三角形の頂点が円の外側にある条件だが，「三角形が円に内接している」とか・・・
この場合，「条件」と「図示」の乖離が大きく，思考を困難にすることでしょう。
だからこそ，「図示はなるべく正確に」ということを大切にしたいのです。
大学入試や共通テストなどでは，１つの大問に次々と条件が与えられます。
はじめに，その大問の全体観をつかみ，
「円が登場するのか？」「平面 & 空間？」「垂直は登場する？」
などの正確な図示に不可欠の要素をさがしにいってください。
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