別ページ 大数の一の位 では，\(17^{2025}\) を求める方法を扱っています。
それによると，
\(7^1=7\) \(7^2=49\) \(7^3=343\) \(7^4=2401\) \(7^5=……7\) \(7^6=……9\) \(7^7=……3\)
と，一の位は \(7 , 9 , 3 , 1 \) の循環である と…
しかし，この方法は 下２けた を求めるには使えそうもありません。
\(17^{2026}\) の変形を考える
困ったときの 変形 。
とりあえず変形をやってみよう。
たとえば
\(17^{2026}=(17^2)^{1013}\) ではどうでしょう？
\(17^2=289\)なので
\(17^{2026}=289^{1013}\) となります。
この \(289\) という数，というより 一の位が \(9\) であることは好都合なのです。
なぜなら、\(9=10-1\) というスペシャルな式で表せるから…
二項定理 \( (a+b)^{n} \) ？
変形ができたところで，二項定理を考えます。
二項定理は，
\( (a+b)^{n}=_n C_0 a^{n}b^{0}+_n C_1 a^{n-1}b^{1}+_n C_2 a^{n}b^{2}+……\)\(……+_n C_{n-1} a^{1}b^{n-1}+_n C_n a^{0}b^{n} \)
という展開の公式です。
ここで
\(17^{2026}=289^{1013}\)\(=(290-1)^{1013}\) だから
\((290-1)^{1013}=_{1013} C_0 {290}^{1013}(-1)^{0}+_{1013} C_1 {290}^{1012}(-1)^{1}+_{1013} C_2 {290}^{1011}(-1)^{2}+……\)
\(……＋_{1013} C_{1012} {290}^{1}(-1)^{1012}+_{1013} C_{1013} {290}^{0}(-1)^{1013}\)
で，それぞれの項 (全部で \(1014\) 項) について，\(290\) の指数 に着目します。
累乗の指数が \(2\) 以上なら 下２けたは \(00\) となり，
本問を解決するためには考えなくてもよい といえます。
つまり，\(290\) の累乗の指数が \(1\) 以下の項 を考えることで解決です。
すなわち \(_{1013} C_{1012} {290}^{1}(-1)^{1012}+_{1013} C_{1013} {290}^{0}(-1)^{1013}\)
\(=1013\times{290}\times{1}+1\times{1}\times{(-1)}\)
\(=293769\) (\(17^{2026}\) の値ではないよ。念のため…。)
この数の下２けたである \(69\) が 本問の答え
\(17^{2026}\) の下２けたの数 です。
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