\(17\times17\times17\times \) …
と 計算真っ向勝負によって求めるのはイヤですね。
整数の特性を利用した工夫をさぐってみましょう！
小中学生ならこれ！
\(7 , 17 , 27 , … \)
これらを２乗，３乗，… して一の位を比べてみると
すべて同じ数になると予想できます。
この予想は正しく，\(7^{2025}\) を考えることによって解決を目指します。
とりあえず累乗してみる
\(7^{2025}\) の計算はイヤですが，現実的な範囲で累乗してみましょう。
\(7^1=7\) \(7^2=49\) \(7^3=343\) \(7^4=2401\) \(7^5=……7\) \(7^6=……9\) \(7^7=……3\)
と，一の位は \(7 , 9 , 3 , 1 \) の循環であることがわかります。
では \(2025\) 乗は？
\(1\) 番目は \(7\)
\(2\) 番目は \(9\)
\(3\) 番目は \(3\)
\(4\) 番目は \(1\)
\(2025\) 番目は \(1\) 番目と同じだということはわかるかな？
これがいえるのは，数の循環が \(4\) コで１周だから。
\(2025\) は\(4\) の倍数 プラス \(1\) で …
\(1\) 番目の数は\(7\) だから
答え，\(7^{2025}\) の一の位は \(7\)
高校生なら「合同式」！！！
多くの人が苦手とする合同式が有効となります。
また，「合同式の理解」と「よさの実感」も得られるのでトライしてみましょう！
合同式をつくる
まず，底となる \(17\) について考えます。
\(17 \equiv 7 (mod 10 ) \)
これは，\(17\) を \(10\) で割った余りと
\(7\) を \(10\) で割った余りが等しい こと
を表しています。
「合同式」で解決！
\(17 \equiv 7 (mod 10 ) \)\(7^2 \equiv 9 (mod 10 ) \)
\(7^3 \equiv 3 (mod 10 ) \)
\(7^4 \equiv 9^2 \equiv 1 (mod 10 ) \)
\(7^{2025} \equiv (7^4)^{506}\times7 (mod 10 ) \)
\( \equiv 1^{506}\times7 \equiv 7 (mod 10 ) \)
したがって
\(17^{2025} \equiv 7^{2025} \equiv 7 (mod 10 ) \)
これは \(17^{2025}\) を\(10\) で割った余りが \(7\) であることを表し，
\(17^{2025}\) の一の位が \(7\) であるという結論を得ました。
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