\(x+1=\sqrt{3}\) を変形
条件 \(x+1=\sqrt{3}\) を変形すると何か良いことが起こるかも！
と期待を込めて変形します。
\(x+1=\sqrt{3}\) の両辺を 2 乗して整理すると
\(x^2+2x-2=0\)実は，これによって大きく前進するのです。
解法１ 次数下げ！
前出の通り
\(x^2+2x-2=0\) であり，これを変形すると
\(x^2=-2x+2\) となります。
さて，何が起こったのでしょうか？
\(x^2\) を \(x\) の 2 次式で表すことができたのです。
これを利用して，
\(x^3=x^2\times{x}\)
\(=(-2x+2)\times{x}\)
\(=-2x^2+2x\)
\(=-2(-2x+2)+2x\)
\(=6x-4\)
\(x^4=x^3\times{x}\)
\(=(6x-4)\times{x}\)
\(=6x^2-4x\)
\(=6(-2x+2)-4x\)
\(=-16x+12\)
これを問題の 4 次式に代入して
\(x^4+3x^3+x^2+4x+1 \)
\(=(-16x+12)+3(6x-4)+(-2x+2)+4x+1\)
\(=4x+3\)
\(=4(\sqrt{3}-1)+3 \)
\(=4\sqrt{3} -1 \)
解法２ わり算のよさ！
次数下げ か わり算 か。
どちらが良いかは人それぞれ・・・
ここでも
ここでも \(x+1=\sqrt{3}\) を変形する点は同じ！
すなわち \(\color{red}{x^2+2x-2=0}\)
ここでわり算を使ってみましょう。
\((x^4+3x^3+x^2+4x+1)\div\color{red}{(x^2+2x-2)} = x^2+x+1 あまり 4x+3\)これを変形して
\(x^4+3x^3+x^2+4x+1=\color{red}{(x^2+2x-2)}(x^2+x+1)+(4x+3) \) ・・・①
\(x=\sqrt{3}-1\) のとき \(\color{red}{x^2+2x-2=0} \) だから
これを ① の式に代入して
\(x^4+3x^3+x^2+4x+1=\color{red}{0}\times(x^2+x+1)+(4x+3) \)
\(=4x+3\)
\(=4(\sqrt{3}-1)+3 \)
\(=4\sqrt{3} -1 \)
おわり！
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