最小値の定番問題！

$a>0$ でなければ成立しない問題ですね。

　

わり算によって 「項を並べた形」 に！

分子 $4a^2+6a+1$ を 分母 $2a$ で割ってみましょう。

　

$\frac{4a^2+6a+1}{2a} = 2a+3+\frac{1}{2a}$

　

変形した式を観察すると，$2a$ と $\frac{1}{2a}$ という

互いに逆数の関係にある 2 数が確認できます。

　

問題の条件から，この 2 数は正の数です。

　

こんなとき，真っ先に考えたいのが「相加平均・相乗平均」という考え方。

　

$(相加平均)≧(相乗平均)$

$A$ , $B$ の相加平均とは，2 数の和 を 2 で割ったもの

$\frac{A+B}{2}$ ，おなじみの 平均値　のことですね。

　

$A$ , $B$ の相乗平均とは，2 数の積 の 2 乗根

$\sqrt{AB}$ つまり，平方根のことですね。(正の平方根)

　

この $A$ , $B$ がともに正の数であるとき，

$(相加平均)≧(相乗平均)$

が成り立ちます。(定理)

　

式に表すと，

$\frac{A+B}{2} ≧ \sqrt{AB}$ , ( $A>0$ , $B>0$ )

　

転じて　$A+B ≧ 2\sqrt{AB}$　(本題ではこちらを使います)

　

例えば，$3$ と $27$ の場合。

　

相加平均は　$\frac{3+27}{2}=15$

相乗平均は　$\sqrt{3\times27}=9$

　

この場合，確かに $(相加平均)≧(相乗平均)$ ですね。

　

$(相加平均)≧(相乗平均)$ によって最小値を！

$A≧9$ のとき，$A$ の最小値は何でしょう？

　

正解は　$9$ です。

　

$A$ は $9$ 以上だと式が語っています。

　

では本題。

　

$2a+3+\frac{1}{2a}$　を少しイジって

　

$2a+\frac{1}{2a}+3$

　

$3$ は わかりやすい定数なので，$2a+\frac{1}{2a}$ について考えます。

　

$2a$ と $\frac{1}{2a}$ はともに正の数だから

　

相加平均・相乗平均の関係から

　

$2a+\frac{1}{2a}$ $≧$ $2\sqrt{2a\times\frac{1}{2a}}$

　

$2\sqrt{2a\times\frac{1}{2a}}=2$ となり

　

$2a+\frac{1}{2a}$ の最小値が $2$ である とわかりました。

　

よって $2a+\frac{1}{2a}+3$ の最小値は

$2+3=5$ となります。

　

最小値は $5$

　

ところで，このとき $2a=\frac{1}{2a}$ であり，

　

$a=\frac{1}{2}$ のとき $\frac{4a^2+6a+1}{2a}$ は最小値 $5$ をとる

　

と結論づけられます！