\(2025\) 項ならかき出すことも可能 (?) ですが，エレガントに解決したいものです。
いずれにしても，この数列の規則を知る必要があります。
数列の規則
数列を観察すると，
\(1\) \(1 , 2 \) \(1 , 2 , 3 \) \(1 , 2 , 3 , 4 \)と自然数の等差数列群がその項数を増やしながら並んでいることがわかります。
この等差数列群を，左から第 \(1\) 群，第 \(2\) 群，……
とすると図のようにかくことができます。
数列群による数列 [群数列]
数列群を 1 つの項とみると，新たな数列が生まれます。
その数列は，左から
\(1 , 2 , 3 , 4 , …… , k\)となり，数は それぞれの群における項数を表しています。
この数列 \(a_k\) は，
初項 \(1\) ，公差 \(1\) の等差数列だから
その一般項は \(a_k=k\) ですね！
第 \(2025\) 項は第何群？
数列をみると，例えば
第 \(3\) 項は 第 \(2\) 群
第 \(6\) 項は 第 \(3\) 群
第 \(10\) 項は 第 \(4\) 群 …
ということがわかります。
ところで，例に挙げた3項はそれぞれの群の最後の項です。
各群の最後の項が第何項であるか
第 \(1\) 群の最後の項は 第 \(1\) 項
第 \(2\) 群の最後の項は \(1+2\) から 第 \(3\) 項
第 \(3\) 群の最後の項は \(1+2+3\) から 第 \(6\) 項
と，「第 \(k\) 群の最後の項は 第 〇 項 です」という一般化ができそうですね。
\(\sum_{i=1}^{k} a_i =\sum_{i=1}^{k} i =\frac{1}{2}k(k+1) \)
第 \(k\) 群の最後の項は 第 \(\frac{1}{2}k(k+1) \) 項
第 \(2025\) 項が 第 \(k\) にあるとすると
\(63\times64 = 4032 , 64\times65 = 4160 \) より
\(k=64\)
第 \(63\) 群の最後は
\(\frac{63\times64}{2}=2016\) より 第 \(2016\) 項
第 \(2025\) 項は 第 \(64\) 群の \((2025-2016=9)\) 番目だから \(9\)
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