\(x^4+x^3+7x^2+5x+10\) を因数分解せよ！
・因数分解の公式は使えない…？
・共通な因数も見当たらない…？
・「高次方程式」や「関数」の考えも無効…？
と，アプローチに悩む本題。工夫で戦いましょう！
\(x^4+x^3+7x^2+5x+10=0\) としてみる
因数分解を考えるとき，この方法はポピュラーなアプローチだといえます。
ところが，\(x=1 , 2 , -1 , -2 \)… と
代入を試しても解決の兆しが見えません。
また， 高次方程式 (対称性) で扱ったような対称性は無い
虚数解も含めて考えるのも楽しいかもしれませんが，初学者や中学生にもわかる方法を選択します。
\(x^2\) を置き換える
\(x^4+x^3+7x^2+5x+10\) について，
\(x^2=A\) として式を変形してみます。
\(x^4+x^3+7x^2+5x+10\)
\(=A^2+xA+7A+5x+10\)
\(=A^2+7A+x(A+5)+10\)
形が見えてきたかな？ 続けます！
\(A^2+7A+x(A+5)+10\)
\(=(A+5)^2-3A-25+x(A+5)+10\)
\(=(A+5)^2+x(A+5)-3(A+5)\)
\(=(A+5){(A+5)+x-3}\)
\(=(A+5)(A+x+2)\)
\(=(x^2+5)(x^2+x+2)\)
おわり！
コメント