弧の長さは
\((弧の長さ)=2\times(半径)\times\frac{(中心角)}{ 360^\circ}\)
と求めることは中学校までに学習しています。
ここでは，弧度法で表された中心角 と 弦の長さ
から “弧の長さ” を求める方法を考えます。
半径 \(r\) を定める
半径 \(r , 中心角 \theta ラジアン の弧の長さ L は \)
\(L=\theta r\)
と表されます。
本題では \(r\) は与えられていないので これを定めることにしましょう。
△OAB に余弦定理を用いて
\(a^2=r^2+r^2-2 \times r \times r \times \cos{\theta} \)
\( =2r^2 (1-\cos{\theta}) \)
よって \(r=\frac{a}{\sqrt{2(1-\cos{\theta})}}\) … ①
\(r\) を消去し，\(L\) を表す
先に述べた通り，\(L=\theta r\) … ② が成り立ちます。
② に ① を代入し
\(L=\theta r \)
\(=\frac{\theta}{\sqrt{2(1-\cos{\theta})}}a \)
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