高次方程式を解く。その定石として \( x=1 \) などを代入して・・・
というものがあります。
方程式 \(x^4-5x^3+2x^2-5x+1=0\)
この方程式 \(x^4-5x^3+2x^2-5x+1=0\) では
\(x=1 , 2 , 3 \) … と代入を試しても等式は成立しません。
というわけで，工夫の出番です！
工夫のためには問題の特性を見抜く必要があります。
方程式 \(x^4-5x^3+2x^2-5x+1=0\) の特性は？
この方程式の特性は何でしょう？
ここで着目したい特性は以下の２点です。
・(降べきの順) で 各項の次数→ \(4 , 3 , 2 , 1 , 0\) (等差数列)
・各項の係数 → 左から \(1 , -5 , 2 , -5 , 1 \) (対称)
次数下げ！
上で見出した特性から，方程式の両辺を \(x^2\) で割ると良いことが起きます。
その前に，両辺を \(x^2\) で割ることができるのか，これを確認します。
等式 \(x^4-5x^3+2x^2-5x+1=0\) に
\(x=0\) を代入すると \( (左辺) \neq0\)
\(x\neq0\) がわかったので，両辺を \(x^2\) でわることができます。
等式 \(x^4-5x^3+2x^2-5x+1=0\) の両辺を \(x^2\) で割って
\(x^2-5x+2-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)各項を次のように並び替えて整理すると…
\((x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+2=0\)
さらに変形していきます。
\(\color{red}{(x^2+\frac{1}{x^2})}-5(x+\frac{1}{x})+2=0\)は
\(\color{red}{(x+\frac{1}{x})^2-2}-5(x+\frac{1}{x})+2=0\)\((x+\frac{1}{x})^2-5(x+\frac{1}{x})=0\)
左辺を因数分解して…
\((x+\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x}-5)=0\)
となり
\(x+\frac{1}{x}=0\) または \(x+\frac{1}{x}-5=0\)
\(x+\frac{1}{x}=0\) のとき
\(x^2+1=0\) , \(x=\pm\mathbb{i}\)
\(x+\frac{1}{x}-5=0\) のとき
\(x^2-5x+1=0\) , \(x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}\)
よって
\(x=\pm\mathbb{i}\) , \(\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}\)
コメント