式の値！ | ミスターユウケイ

$x+1=\sqrt{3}$ 　を変形

条件　 $x+1=\sqrt{3}$ 　を変形すると何か良いことが起こるかも！

と期待を込めて変形します。

$x+1=\sqrt{3}$ 　の両辺を 2 乗して整理すると

$x^2+2x-2=0$

実は，これによって大きく前進するのです。

前出の通り

$x^2+2x-2=0$ であり，これを変形すると

$x^2=-2x+2$ 　となります。

さて，何が起こったのでしょうか？

$x^2$ を　 $x$ の 2 次式で表すことができたのです。

これを利用して，

$x^3=x^2\times{x}$
　 $=(-2x+2)\times{x}$
　 $=-2x^2+2x$
　 $=-2(-2x+2)+2x$
　 $=6x-4$

$x^4=x^3\times{x}$
　　 $=(6x-4)\times{x}$
　　 $=6x^2-4x$
　　 $=6(-2x+2)-4x$
　　 $=-16x+12$

これを問題の 4 次式に代入して

　 $x^4+3x^3+x^2+4x+1$
$=(-16x+12)+3(6x-4)+(-2x+2)+4x+1$
$=4x+3$
$=4(\sqrt{3}-1)+3$
$=4\sqrt{3} -1$

次数下げ　か　わり算　か。

どちらが良いかは人それぞれ・・・

ここでも

ここでも　 $x+1=\sqrt{3}$ 　を変形する点は同じ！

すなわち　 $\color{red}{x^2+2x-2=0}$

ここでわり算を使ってみましょう。

$(x^4+3x^3+x^2+4x+1)\div\color{red}{(x^2+2x-2)} = x^2+x+1　あまり　4x+3$

これを変形して

$x^4+3x^3+x^2+4x+1=\color{red}{(x^2+2x-2)}(x^2+x+1)+(4x+3)$ 　・・・①

$x=\sqrt{3}-1$ 　のとき　 $\color{red}{x^2+2x-2=0}$ 　だから

これを ① の式に代入して

$x^4+3x^3+x^2+4x+1=\color{red}{0}\times(x^2+x+1)+(4x+3)$
　　　　　　　　　　　　　 $=4x+3$
　　　　　　　　　　　　　 $=4(\sqrt{3}-1)+3$
　　　　　　　　　　　　　 $=4\sqrt{3} -1$

おわり！